Ecuaciones

 

1.1 Ecuaciones algebraicas

1.1.1 Ecuaciones polinómicas

1.1.1.1 Ecuación lineal

Una ecuación de primer grado es de la forma: ; siendo  números reales con  la variable real. El valor de  debe ser diferente de 0 porque de los contrario la ecuación se reducirá a otra de grado cero.

 

 Resolución

 

Las ecuaciones de primer grado se resuelven transformándolas en otras equivalentes, considerando los siguientes teoremas:

 

1.      Si en el  miembro de la ecuación hay términos que contienen la incógnita, transpóngala al .

2.      Si el  miembro hay términos que no contienen la incógnita, transpóngase al .

3.      Reducir términos semejantes.

4.     Despejar la incógnita( si el coeficiente de la incógnita que resulte es distinto de 1, pásese al   segundo miembro). El valor obtenido en el miembro es la raíz o solución de la ecuación.

      Ejemplo

1.1.1.2 Ecuación polinómica de  grado.                                                      

Una ecuación de  grado con una incógnita es de la forma: , siendo  números reales, con  y “x” la variable real.                                                                                                                                     

Son ecuaciones de segundo grado las siguientes:                                                                           

Discriminante de una ecuación cuadrática:                                                                                     

Resolución

 

Las soluciones de una ecuación cuadrática son aquellos valores de la variable  que hacen que la expresión cuadrática tenga un valor de 0. Para hallar las raíces o soluciones (el o los valores de la variable ) se utilizan los siguientes procedimientos:                                                                             

Factorización, Método del ASPA, completar un TCP y por la fórmula de Bhashara.                        

En el caso de una ecuación de segundo grado incompleta, se puede obtener las soluciones          extrayendo factor común y/o mediante el uso del siguiente teorema:                                            

1.1.1.3 Ecuación de grado n                                                                                       

Una ecuación polinómica de grado  es de la forma:                                                                       

 

En la ecuación polinómica de grado n, el número  es el coeficiente principal de la ecuación. El coeficiente  es el término independiente, polinomio de grado cero o término constante.             

Teorema del resto:

 

Teorema del factor:

 

Resolución                                                                                                                                         

Para resolver una ecuación polinómica, la podemos resolver por división sintética (regla de Ruffini)     

Es un procedimiento práctico que facilita el proceso para:                                                                        

a.    Hallar el coeficiente y el resto de la división de un polinomio  para un binomio de la forma x-k.

      b.    Determinar si un número k es solución de una ecuación o determinar las soluciones de la  ecuación.                                                                                                                                

c.     Factorar un polinomio.                                                                                                                                                                

Ejemplos:                                                                                                                                                                 

1.1.2 Ecuación racional 

Se llama ecuación racional(fraccionaria) a la igualdad que contiene una expresión racional, en una variable. Son de la forma:

Resolución

Las ecuaciones racionales se resuelven utilizando los procedimientos estudiados en los capítulos anteriores, así como los siguientes teoremas.

Ejemplo:

1.1.3 Ecuaciones irracionales

Se llama ecuación irracional a la igualdad que contiene al menos un radical cuyo subradical es una expresión algebraica no constante. Es decir, a la igualdad donde al menos un término contiene la variable dentro del radical o con un exponente fraccionario. En general, son de la forma:

Resolución:

Para resolver ecuaciones con radicales se usa el siguiente teorema. El teorema es válido sólo del primer miembro al segundo.

Ejemplos:

1.1.4 Ecuaciones con valor absoluto

Se denomina ecuación con valor absoluto a la igualdad que incluye una expresión algebraica, en la que al menos una variable se encuentra dentro del signo de valor absoluto. En general, las ecuaciones con valor absoluto son de la forma:

Resolución

1.    Aplicar la definición de lxl, en cada termino que contenga lxl   

2.    Graficar el o los valores de x en la recta(números críticos).

3.    Escribir el lxl   para cada intervalo.

4.    Sustituir el valor obtenido en la ecuación original.

5.    Resolver las ecuaciones.

6.    Verificar que el valor obtenido es elemento del intervalo.

7.    Escribir el conjunto solución de cada intervalo: 

8.    Hallar la unión de los conjuntos solución de cada intervalo: 

Ejemplo:

1.2 Ecuaciones trascendentes

Se llama ecuación trascendente a la igualdad que contiene la variable “x” como exponente, el logaritmo de la variable “x”, o la variable “x” como ángulo de una o más razones trigonométricas.

1.2.1 Ecuación exponencial 

Se llama ecuación exponencial a la expresión en que la variable se encuentra, únicamente, como exponente de una base  constante, positiva y diferente de 

Son de la forma: 

Resolución:

 

Existen 2 formas de resolver una ecuación exponencial.

A.   Reduccion a una base común.

Si  se puede escribir se puede escribir como una potencia de base común , se tiene:

Teorema: si dos potencias de igual base entonces sus exponentes también son iguales. En forma simbólica se escribe:

El procedimiento para resolver es el siguiente:

 

a.    Transformar la ecuación exponencial en algebraica (utilizando el teorema)

b.    Resolver la ecuacion algebraica usando los axiomas y teoremas que corresponde.

 

A.   Logaritmación de la ecuación exponencial.

 

Se aplica logaritmos, convenientemente, en ambos miembros de la ecuación. En especial, si  no se puede escribir como una potencia de base común .

Ejemplo:

1.2.2 Ecuaciones logarítmicas

Se llama ecuación logarítmica a la igualdad que contiene el logaritmo de la variable  (positivo), con base  constante mayor que cero y diferente de uno. Las ecuaciones logarítmicas en una incógnita son de la forma:

Resolución:

Para resolver ecuaciones logarítmicas se aplican las siguientes equivalencias, según corresponda al primer caso o al caso 2:

1.    Definición de logaritmo:

1.    Inyectividad de logaritmo:

Ejemplo:

1.2.3 Ecuaciones trigonométricas

Se llama ecuación trigonométrica a la igualdad en la que la variable está determinada por una o más funciones trigonométricas. La variable es el ángulo común entre ellos. Son de la forma:

Resolución

Resolver una ecuación trigonométrica es encontrar los valores del ángulo desconocido que verifican la ecuación dada. Son de utilidad las siguientes sugerencias:

1.    Escriba la ecuacion trigonometrica en terminos de un mismo angulo,utilizando las identidades trigonometricas. Por ejemplo: Ángulo doble en simple.

2.    Escriba las funciones en términos de una misma función trigonometrica, si es posible:

3.    Factorar la expresión anterior, de ser posible:

4.    Utilizar el teorema del factor cero en los casos que se requiera:

5.    Utilizar la definición trigonométrica inversa. Por ejemplo:

Observaciones: se llama valor principal de una función trigonométrica inversa a su valor numérico más pequeño, dándose preferencia al valor positivo.

Ejemplo:

Bibliografía                                                                                              

           •      BASTIDAS, P. y OTROS.(2018).Teoría de ecuaciones.Ediciones ecuafuturo-Quito, Ecuador.